角度とは？/ スタッフィ
[ 319] ［228615］角度と座標の計算 − Flash の三角関数を使う
[引用サイト] http://support.adobe.co.jp/faq/faq/qadoc.sv?228615+002
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この文書に対する評価をお願いします。角度と座標を使った計算には、三角関数が必要になります。この文書では、三角関数について簡単な解説を加え、サンプルスクリプトをご紹介します。 三角関数に苦手意識をもつ方は多いようです。その大きな理由のひとつは、この比率にどんな意味があるのかわからないということではないでしょうか。まず、その点からご説明しておきましょう。 三角関数をとっつきにくいものにしているもうひとつの理由として、角度の単位があります。三角関数では角度の単位に「ラジアン」を使うことが多いのです。Math オブジェクトでも三角関数には、ラジアンが用いられています。360 度は 2π ラジアンです。すると 1 ラジアンは、約 57.3 度ということになります。なぜこんな半端な単位を使うのでしょうか。 三角関数は円運動の分析にも使われます。運動を解析する際には、運動の距離を知る必要があります。ところが度数で示される角度は、距離と直接の関係がありません。そこで、また半径 1 の円を基準に考えます。半径 1 の扇形の角度を、その円弧の長さで表わした単位がラジアンなのです。したがって、360 度は円周の長さである 2π になります。1 秒間に半径 1m の円周上を 1 ラジアンの角度移動すれば、その平均速度は 1m/秒ということになるわけです。 では、'Math.atn2' メソッドを利用した、簡単なアクションのサンプルをご紹介しましょう。以下のオブジェクトアクションをムービークリップのインスタンスに設定すると、ムービークリップがマウスポインタの方向に回転します。X 軸正 (右) の方向が基準となりますので、ムービークリップのマウスポインタに向けたい部分を水平方向右向きに配置します。使用されているプロパティ・メソッドその他のアクションについて、詳しくは『ActionScript リファレンスガイド』の該当項目をご参照ください。 ここで、疑問を持たれた方もあるかもしれません。これまでの説明では、数学的な X-Y の直交座標を前提にしてきました。つまり、垂直方向の Y 軸は上にいくほど数値が大きくなります。ところが、Flash で扱う座標系は左上を原点とし、垂直方向の Y 軸は下に向かって数値が増えます。この点を考慮して、角度を修正する必要はないのでしょうか。結論からいえば、その必要はありません。直交座標は、座標軸が垂直に交わってさえいればよいのです。グラフ用紙を上下逆さにしようが、裏返そうが (こうすると Flash の座標系と同じになります)、座標と角度との関係に変わりはないからです。 |
[ 320] 角度の平均 角度の分散
[引用サイト] http://staff.aist.go.jp/toru-nakata/averageangle.html
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しかし、データが角度である場合には、数学的には問題が生じます。角度は360度で一周すること(角度の多義性)に起因する問題です。 角度値単純合算法は、角度の数値をそのまま使って、通常の平均や分散の計算をする方法です。データのばらつきが小さい場合に使われます。角度の周期性の効果を無視してよいと考えているわけです。 ３次元の角度になると、ますます困ってしまいます。緯度と経度の算術平均をすることになりますが、北極（南極）付近と赤道付近では、計算の実態が全く異なります。 例：北極点から緯度で１０度離れ、それぞれ等間隔の点が２０個ある。これらの平均緯度は８０度と計算される。しかし、点群の中心は北極点なので、オカシイ。（逆に、８０度という答えが正しい場合もありえる。例えば、植物の生育北限緯度の計算など。）計算者は、どちらを正しいとするか、選択せねばなりません。 この方法の場合は、角度の周期性の効果を考えなくてよいので、あからさまなインチキはありません。（上記のジンバル・ロック問題は選択は考えねばいけませんが。） 角度を計算する元になったデータをそのまま使う方法です。元データのベクトルを、角度と長さに分離せず、そのまま直交座標の座標値を使って、計算します。 ポテンシャル的な考え方とは、データの示す角度のまわりに「平均値っぽさ」の重み（ポテンシャル）をつけ、どの角度が、一番「平均値っぽさ」の重みが強いかを探して、平均値とする方法です。 球面調和関数とは： 球のシャボン玉を思い浮かべてください。シャボン玉がプルプル震えるとき、振れ幅はどのように分布するでしょうか。一番簡単なのは、全体で膨張と収縮を同じタイミングで行うもの。次に凝った震え方は、上半球と下半球で交互に膨張と収縮を繰り返すもの。さらに考えていくと、ミカンの房とか、サッカーボールの模様みたいな、もっと複雑に分割したいろいろな震え方が考えられますね。このように、シャボン玉（＝球面）の震え方のパターン（＝調和関数）を示すものです。 複雑な球面調和関数は計算がすごく面倒なので、あまり使いたくはありません。が、題材によっては、特定の球面調和関数を使うことに適切性があるかもしれません。「この角度はサッカーボール模様のように分布するはずだ」と自信の持てる場合は、特定の球面調和関数を使うべきでしょう。(パターン見本は、ルジャンドル陪関数、ルジャンドル同伴関数、 Legendre fuction などを調べてみてください。) しかし、単に「高等数学だからかっこよさそうなので使う」とか、「処理の正しさに自信が無いので難しい数学を使う」ということは避けるべきでしょう。 単純に、緯度と経度とで、それぞれ別々に0〜360度の一様乱数を発生させると、北極南極付近では密度が高くなってしまいます。ですから、緯度と経度で考えることは正しくありません。 ある角度データの群れを測ってみると、どうやら42度ぐらいを平均として分布しているらしいと見込めたとしましょう。これが正しいことを統計を使って主張する方法について考えて見ましょう。 角度の多義性(360度で一周)がある場合は、普通の統計検定手法を使うことは厳密にはできません。（そこまで厳密な人は珍しいですが。） 力任せに、モンテカルロ法を使う場合もあります。つまり、乱数を発生させて、角度のムラが発生する確率を実験的に測ります。角度ムラの珍しさを引き合いに出して、元々の角度データの規則性を主張します。 |
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